Wyznaczanie równań wejścia-wyjścia

Poprawne wyznaczenie równania wejścia-wyjścia zadanego układu ma kluczowe znaczenie w jego dalszej analizie. Zapisanie równania pozwala wyznaczyć postać transmitancji widmowej i operatorowej, ale o tym w kolejnym wpisie.

Ogólna postać równania wejścia-wyjścia ma postać:

gdzie y(t) jest sygnałem wyjściowym a x(t) - sygnałem wejściowym badanego układu.

Przykład
Wyznaczmy równanie wej-wyj czwórnika przedstawionego na poniższym rysunku:

W przypadku obwodów elektrycznych wykorzystujemy zazwyczaj I oraz II prawo Kirchhoffa. W tym przypadku skorzystamy z II prawa, które, dla przypomnienia, mówi o tym, że suma sił elektromotorycznych w oczku obwodu jest równa sumie spadków napięć. Dlatego możemy zapisać:


Jak wiemy prąd i napięcie na kondensatorze są powiązane zależnością różniczkową:

Dlatego wykorzystując fakt, że prąd płynący w naszym obwodzie jest wszędzie taki sam możemy zapisać następujące zależności:

Podstawiając je do naszego równania otrzymamy:

Zwykle przy takiej postaci dokonujemy jeszcze jednej operacji, dzielimy obie strony równania przez LC:

co inaczej można zapisać:

gdzie:

Linearyzacja dynamiczna

Jeśli dany jest układ dynamiczny opisany ogólnie nieliniowym równaniem różniczkowym postaci:

to możemy dokonać jego linearyzacji poprzez rozwinięcie w szereg Taylor'a wokół statycznego punktu pracy:

 

oraz odrzucenie części nieliniowej tego rozwinięcia czyli reszty oraz pochodnych rzędu wyższego niż pierwszy.

Warto w tym miejscu zaznaczyć, że wartość funkcji opisującej omawiany układ ma w tym punkcji wartość zero. Informację tę można niekiedy wykorzystać przy wyznaczaniu współrzędnych tego punktu.

Funkcja po rozwinięciu w szereg Taylor'a i odrzuceniu części nieliniowej ma postać:

 

Wartości wszystkich pochodnych liczone są w statycznym punkcie pracy.

Przejdźmy do przykładu.
Mamy układ dynamiczny opisany następującym nieliniowym równaniem różniczkowym:

W tym przypadku mamy nieliniowość dwóch typów. Po pierwsze wartość współczynnika a zależy od zmiennej x, a po drugie w równaniu występuje pierwiastek kwadratowy.
Przedstawmy to równanie w postaci funkcji czterech argumentów:

Policzymy teraz pochodne występujące we wzorze na rozwinięcie w szereg Taylor'a podanym wyżej wokół statycznego punktu pracy

 

 

Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy:

Co można również zapisać w następujący sposób:

gdzie delty oznaczają małe odchylenia poszczególnych zmiennych od statycznego punktu pracy.

W razie jakichś niejasności, wątpliwości lub uwag proszę pisać w komentarzach.

Linearyzacja statyczna

Z układem statycznym mamy do czynienia wtedy, gdy wielkości wejściowe i wyjściowe tego układu są ze sobą związane równaniem algebraicznym, a nie różniczkowym (tak jak jest to dla układów dynamicznych). Ogólnie układ taki możemy opisać równaniem: 

Większość rzeczywistych układów ma charakter nieliniowy. Linearyzacji takiego układu można dokonać na kilka sposobów, np. przez rozwinięcie funkcji w szereg Taylor'a. Rozwinięcia tego dokonuje się w punkcie pracy, czyli dla takich wartości x,y, wokół których układ znajduje się najczęściej podczas działania. Rozwijając powyższą funkcję w szereg Taylor'a i pomijając jego składniki nieliniowe otrzymujemy:

Wiedząc, że f(x,y)=0 oraz f(x₀,y₀)=0 otrzymujemy:

  *

Wartości pochodnych w powyższych wzorach wyznaczamy dla punktu pracy czyli podstawiamy za x, y odpowiednio x₀, y₀

Ale wystarczy teorii, przejdźmy do praktyki.
Rozważmy nieliniowy układ statyczny opisany następującym równaniem algebraicznym:

którego punkt pracy to (x₀,y₀)=(4,16).
Wyznaczmy najpierw pochodne cząstkowe występujące w rozwinięciu:

Liczymy ich wartości w punkcie pracy:

Podstawiamy obliczone wartości pochodnych oraz współrzędne punktu pracy do wzoru *:

Otrzymaliśmy równanie liniowe, które w sposób przybliżony odzwierciedla nasz układ nieliniowy.

Poniżej przedstawiony został przebieg funkcji przed i po linearyzacji wraz z zaznaczonym punktem pracy.

W razie jakichś niejasności, wątpliwości proszę pisać w komentarzach do tego posta. Postaram się wyjaśnić w miarę możliwości.