Sterowanie, Automatyka, PLC: Wyznaczanie równań wejścia-wyjścia

Poprawne wyznaczenie równania wejścia-wyjścia zadanego układu ma kluczowe znaczenie w jego dalszej analizie. Zapisanie równania pozwala wyznaczyć postać transmitancji widmowej i operatorowej, ale o tym w kolejnym wpisie.

Ogólna postać równania wejścia-wyjścia ma postać:

$\dpi{120} \bg_black \\ a_{n}y^{(n)}(t)+a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+...+a_{2}\ddot{y}(t)+a_{1}\dot{y}(t)+a_{0} y(t)= \\ b_{m}x^{(m)}(t) + b_{m-1}x^{(m-1)}(t)+...+b_{2}\ddot{x}(t)+b_{1}\dot{x}(t)+b_{0}x(t)$

gdzie y(t) jest sygnałem wyjściowym a x(t) - sygnałem wejściowym badanego układu.

Przykład
Wyznaczmy równanie wej-wyj czwórnika przedstawionego na poniższym rysunku:

W przypadku obwodów elektrycznych wykorzystujemy zazwyczaj I oraz II prawo Kirchhoffa. W tym przypadku skorzystamy z II prawa, które, dla przypomnienia, mówi o tym, że suma sił elektromotorycznych w oczku obwodu jest równa sumie spadków napięć. Dlatego możemy zapisać:

$\dpi{120} \bg_black u_{we}(t)-u_{R}(t)-u_{L}(t)-u_{wy}(t)=0$
Jak wiemy prąd i napięcie na kondensatorze są powiązane zależnością różniczkową:
$\dpi{120} \bg_black i_{c}(t)=C\frac{\mathrm{d}u_{c} }{\mathrm{d} t}=C\frac{\mathrm{d}u_{wy} }{\mathrm{d} t}$
Dlatego wykorzystując fakt, że prąd płynący w naszym obwodzie jest wszędzie taki sam możemy zapisać następujące zależności:
$\dpi{120} \bg_black \\u_{R}(t)=Ri(t)=RC\frac{\mathrm{d}u_{wy} }{\mathrm{d} t} \\ u_L(t)=L\frac{\mathrm{d}i }{\mathrm{d} t}=LC\frac{\mathrm{d^2}u_{wy} }{\mathrm{d} t^2}$
Podstawiając je do naszego równania otrzymamy:
$\dpi{120} \bg_black \\u_{we}(t)=RC\frac{\mathrm{d}u_{wy} }{\mathrm{d} t}+LC\frac{\mathrm{d^2}u_{wy} }{\mathrm{d} t^2}+u_{wy}(t)$
Zwykle przy takiej postaci dokonujemy jeszcze jednej operacji, dzielimy obie strony równania przez LC:
$\dpi{120} \bg_black \\\frac{\mathrm{d^2}u_{wy} }{\mathrm{d} t^2}+\frac{R}{L}\frac{\mathrm{d}u_{wy} }{\mathrm{d} t}+\frac{1}{LC}u_{wy}(t)=\frac{1}{LC}u_{we}(t)$
co inaczej można zapisać:
$\dpi{120} \bg_black \\\frac{\mathrm{d^2}u_{wy} }{\mathrm{d} t^2}+2\xi \omega_{n} \frac{\mathrm{d}u_{wy} }{\mathrm{d} t}+\omega_{n}^{2}u_{wy}(t)=\omega_{n}^{2}u_{we}(t)$
gdzie:
$\dpi{120} \bg_black \\ \xi =\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}\: \: \: -\: \: \: współczynnik \: \: tłumienia \\ \omega _{n}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\: \: \: -\: \: \: pulsacja \: \: rezonansowa\: \: czwórnika$

Sterowanie, Automatyka, PLC

czwartek, 21 kwietnia 2011

Wyznaczanie równań wejścia-wyjścia

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz