Linearyzacja statyczna

Z układem statycznym mamy do czynienia wtedy, gdy wielkości wejściowe i wyjściowe tego układu są ze sobą związane równaniem algebraicznym, a nie różniczkowym (tak jak jest to dla układów dynamicznych). Ogólnie układ taki możemy opisać równaniem: 

Większość rzeczywistych układów ma charakter nieliniowy. Linearyzacji takiego układu można dokonać na kilka sposobów, np. przez rozwinięcie funkcji w szereg Taylor'a. Rozwinięcia tego dokonuje się w punkcie pracy, czyli dla takich wartości x,y, wokół których układ znajduje się najczęściej podczas działania. Rozwijając powyższą funkcję w szereg Taylor'a i pomijając jego składniki nieliniowe otrzymujemy:

Wiedząc, że f(x,y)=0 oraz f(x₀,y₀)=0 otrzymujemy:

  *

Wartości pochodnych w powyższych wzorach wyznaczamy dla punktu pracy czyli podstawiamy za x, y odpowiednio x₀, y₀

Ale wystarczy teorii, przejdźmy do praktyki.
Rozważmy nieliniowy układ statyczny opisany następującym równaniem algebraicznym:

którego punkt pracy to (x₀,y₀)=(4,16).
Wyznaczmy najpierw pochodne cząstkowe występujące w rozwinięciu:

Liczymy ich wartości w punkcie pracy:

Podstawiamy obliczone wartości pochodnych oraz współrzędne punktu pracy do wzoru *:

Otrzymaliśmy równanie liniowe, które w sposób przybliżony odzwierciedla nasz układ nieliniowy.

Poniżej przedstawiony został przebieg funkcji przed i po linearyzacji wraz z zaznaczonym punktem pracy.

W razie jakichś niejasności, wątpliwości proszę pisać w komentarzach do tego posta. Postaram się wyjaśnić w miarę możliwości.